\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\title{Vollständige Analyse der Viviani-Kurve}
\author{Mathematische Kurvendiskussion}
\date{\today}

\begin{document}

\maketitle

\section{Definition der Kurve}
Die Viviani-Kurve ist durch die folgende Parameterdarstellung definiert:
\begin{equation}
    \mathbf{x}(t) = \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \\ 2 \sin \frac{t}{2} \end{pmatrix}, \quad t \in [0, 4\pi]
\end{equation}

\section{Das begleitende Dreibein (Frenet-Rahmen)}
Für den Punkt $t=0$ ergeben sich die folgenden Basisvektoren:
\begin{itemize}
    \item \textbf{Tangenteneinheitsvektor:} $\mathbf{T}(0) = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
    \item \textbf{Hauptnormalenvektor:} $\mathbf{N}(0) = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
    \item \textbf{Binormalenvektor:} $\mathbf{B}(0) = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$
\end{itemize}

\section{Krümmung und Torsion}
Die lokalen Maße der Kurve beschreiben ihre Abweichung von einer Geraden bzw. einer Ebene.

\subsection{Krümmung $\kappa$}
Die Krümmung im Punkt $t=0$ beträgt:
\begin{equation}
    \kappa(0) = 0,5
\end{equation}

\subsection{Torsion $\tau$}
Die Torsion (Windung) im Punkt $t=0$ berechnet sich zu:
\begin{equation}
    \tau(0) = 0,375
\end{equation}

\section{Bogenlänge $s$}
Die Gesamtlänge der Kurve im Intervall $[0, 4\pi]$ wurde über ein elliptisches Integral zweiter Gattung präzise bestimmt:
\begin{equation}
    s = 8\sqrt{2} \cdot E\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \approx 15,28079116
\end{equation}

\section{Geometrische Einordnung}
Die Kurve entsteht durch den Schnitt einer Kugel mit einem Zylinder. Sie ist eine räumliche Kurve, die aufgrund ihrer Torsion $\tau \neq 0$ nicht in einer Ebene liegt.

\end{document}
