\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{geometry}
\usepackage{listings} % Paket für Code-Darstellung
\usepackage{xcolor}
\geometry{margin=2.5cm}

% Einstellungen für das C-Programm Design
\lstset{
    language=C,
    basicstyle=\ttfamily\small,
    keywordstyle=\color{blue},
    commentstyle=\color{green!50!black},
    stringstyle=\color{red},
    numbers=left,
    numberstyle=\tiny\color{gray},
    stepnumber=1,
    frame=single,
    breaklines=true,
    captionpos=b
}

\title{Erweiterte Analyse der Viviani-Kurve}
\author{Numerik und Differentialgeometrie}
\date{\today}

\begin{document}

\maketitle

\section{Das Elliptische Integral zweiter Art}
Die Bogenlänge der Viviani-Kurve führt auf das vollständige elliptische Integral zweiter Art $E(k)$. Die mathematische Definition lautet:
\begin{equation}
    E(k) = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta} \, d\theta
\end{equation}
Für unsere Kurve setzen wir den Parameter $k = \frac{1}{\sqrt{2}}$ ein.

\section{Numerische Berechnung in C}
Um den Wert $s \approx 15,28079116$ zu verifizieren, kann ein C-Programm verwendet werden, das das Integral numerisch (z. B. nach der Trapezregel oder Simpson-Regel) berechnet.

\begin{lstlisting}[caption=C-Programm zur Berechnung des elliptischen Integrals]
#include <stdio.h>
#include <math.h>

double function(double theta, double k) {
    return sqrt(1.0 - pow(k, 2) * pow(sin(theta), 2));
}

int main() {
    double k = 1.0 / sqrt(2.0);
    int n = 1000000; // Anzahl der Schritte
    double a = 0.0, b = M_PI_2;
    double h = (b - a) / n;
    double integral = 0.5 * (function(a, k) + function(b, k));

    for (int i = 1; i < n; i++) {
        integral += function(a + i * h, k);
    }
    
    double E = integral * h;
    double s = 8.0 * sqrt(2.0) * E;

    printf("E(k) = %.10f\n", E);
    printf("Bogenlaenge s = %.10f\n", s);
    return 0;
}
\end{lstlisting}

\section{Zusammenfassung der Ergebnisse}
Durch die Kombination aus analytischer Formel und numerischer Approximation erhalten wir:
\begin{itemize}
    \item \textbf{Exakter Ausdruck:} $s = 8\sqrt{2} \cdot E\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
    \item \textbf{Numerischer Wert:} $s \approx 15,28079116$
\end{itemize}

\end{document}
